Para comprender la idea de resonancia se puede acudir a una experiencia que quizás por muy conocida no es habitual razonar sobre ella. Se inicia la misma con un recorrido por un parque cualquiera hasta llegar hasta una zona donde unos niños o niñas recrean su ocio jugando con ciertos aparatos. En concreto conviene fijarse en uno de ellos: el columpio. Se puede observar el movimiento del columpio y como la niña o niño sincroniza sus movimientos con el balanceo del columpio. Avanza hacia adelante con las piernas extendidas hasta llegar al punto más alto donde las recoge bruscamente iniciando el retroceso. Al llegar al punto más alto en el retroceso vuelve a extender bruscamente las piernas y así sucesivamente. Con este movimiento el niño/a consigue dar un impulso al columpio obteniendo como respuesta el que este se eleve a mayor altura o se mantenga con las posiciones máximas que se hayan alcanzado.
Figura 1: columpio como ejemplo de sistema resonante.
Teniendo en cuenta que un columpio es un péndulo de periodo
la frecuencia de su oscilación es constante y por lo tanto la niña/o debe realizar sus movimiento siguiendo esta misma frecuencia para obtener un resultado óptimo. Si el niño/a no siguiese esta pauta, realizaría el impulso en instantes inadecuados y el resultado no sería el esperado. La frecuencia con la que se obtiene esta respuesta óptima es la frecuencia de resonancia del columpio: en ella el sistema (el columpio) y la acción sobre el mismo (el movimiento de las piernas del niño/a) están sincronizados.
Se puede encontrar numerosos fenómenos en los que la respuesta de un sistema físico sometido a una acción periódica depende de la frecuencia de dicha acción, de tal forma que exista una frecuencia, la de resonancia, para la cual la magnitud medida adopta un valor máximo o mínimo.
Así, al tocar la guitarra, la cuerda amortigua de forma desigual las distintas ondas en que se puede descomponer la vibración inicial. Al final queda un sonido limpio que se corresponde con una única frecuencia (la frecuencia de resonancia). Esta señal se incorpora en la caja de la guitarra donde entra en resonancia con la misma (la amortiguación es mínima), y permite su amplificación al ir sumándose las distintas señales que entran. Si el fenómeno de resonancia es deseado en el momento de diseñar un instrumento musical, no ocurre lo mismo cuando se trata de construcciones, como pueden ser los puentes, en los que un mal diseño puede dar lugar a grandes oscilaciones al entrar en resonancia con el tráfico, o edificios en zonas sísmicas, a los que un terremoto puede destruir debido a una acumulación de oscilaciones no amortiguadas. En general, el diseño de cualquier sistema sometido a vibraciones mecánicas debe tenerlas en cuenta para obtener un buen funcionamiento.
No sólo se observa el fenómeno de resonancia en sistemas mecánicos. El color azul del cielo es resultado de la emisión de ondas electromagnéticas de los electrones de los átomos de la atmósfera que, excitados por la luz solar, vibran con su frecuencia natural de resonancia que se corresponde con la de la luz azul. Los sistemas de transmisión y recepción de ondas electromagnéticas, el acoplamiento magnético entre circuitos y muchos otros fenómenos hacen uso del concepto de resonancia.
Los fenómenos de resonancia se utiliza asimismo para caracterizar propiedades microscópicas de materiales. Así, al aplicar un campo eléctrico alternativo a un dieléctrico sus dipolos tienden a orientarse. Pero la capacidad de orientación depende de como interaccionan con su entorno. A una determinada frecuencia, frecuencia de resonancia, los dipolos se orientarán con un movimiento periódico de frecuencia similar a la del campo incidente (frecuencia de resonancia). A frecuencias superiores no tendrán tiempo de orientarse y a frecuencias inferiores a la de resonancia los dipolos se orientan antes de que el campo incidente realice una fracción del ciclo. La medida de la frecuencia de resonancia da información acerca de la libertad de movimiento de los átomos asociados a ese dipolo eléctrico. La misma idea se aplica al estudio de la resonancia en dipolos magnéticos sometidos a un campo magnético alternativo. La técnica de obtención de imágenes médicas RMN (Resonancia Magnética Nuclear) se basa en este fenómeno.
El estudio de fenómenos resonantes puede llevar a comprender el comportamiento de sistemas tan pequeños como el movimiento de protones y neutrones en el núcleo atómico, o tan grandes como es el movimiento de las mareas atmosféricas terrestres (deformación de la atmósfera debida a la acción gravitatoria de la Luna). La explosión del Krakatoa en 1883 permitió medir experimentalmente la frecuencia de resonancia de la atmósfera considerada como un oscilador.
El circuito que se va a analizar está compuesto por tres elementos: resistencia, bobina y condensador. Se analiza su comportamiento tanto al conectarlos en serie (figura 2) como cuando están en paralelo (figura 3). En particular, se medirá la intensidad que circula por el circuito al aplicar una diferencia de potencial alterna entre sus terminales y a distintas frecuencias. La relación entre tensión e intensidad permitirá conocer la impedancia del circuito.
El
comportamiento de los
elementos pasivos en su conjunto debe corresponderse con las
expresiones: 
siendo Z el módulo de la impedancia e Y el módulo de la admitancia para los circuitos serie y paralelo respectivamente. La admitancia es el valor de la inversa de la impedancia.
Así, para la frecuencia de resonancia la diferencia de potencial en bornes de la resistencia será la diferencia de potencial a la entrada del circuito. Las diferencias de potencial en bornes de la bobina y el condensador se anulan entre sí. Pero esto no quiere decir que no exista una diferencia de potencial en bornes de cada uno de estos elementos. Si se calcula la relación entre tensión en bornes de capacidad o bobina y la tensión de entrada, a la frecuencia de resonancia, se obtiene el siguiente valor:
A esta relación, Q, se le denomina factor de sobretensión o factor de calidad. A partir de esta expresión se puede deducir que nada impide obtener sobretensiones muy grandes en bornes de la bobina y del condensador eligiendo los elementos del circuito serie apropiados. Como consecuencia a la frecuencia de resonancia se puede llegar a destruir el condensador o la bobina.
Por otra parte, si analizamos el circuito RLC paralelo, figura 5, se observa que la frecuencia de resonancia se corresponde con un valor mínimo de la admitancia o, lo que es lo mismo, máximo de la impedancia. Esto implica que ante una tensión aplicada la intensidad es la menor posible. De hecho la intensidad que entra en el circuito cuando se encuentra en resonancia tiene el mismo valor que la que circula por la resistencia. Esto no quiere decir que no circulen intensidades por el conjunto bobina-condensador, sino que estos se comportan como si de una malla independiente se tratase: las cargas del condensador cambian de una armadura a la otra circulando a través de la bobina. Puede suceder que se dé valores intensidad muy grandes que pongan en peligro el circuito. En este caso se habla de factor de sobreintensidades y su expresión es la inversa del factor de sobretensiones visto en el circuito anterior.
Tanto en el circuito RLC serie como el paralelo la frecuencia de resonancia es:
La aplicación del principio de superposición a los circuitos de corriente alterna estudiados implica que la intensidad o d.d.p entre dos puntos del circuito es la suma de las debidas a cada una de las f.e.m. presentes en el circuito y consideradas por separado. Esto implica que si aplicamos a un circuito RLC serie una señal suma de varias señales sinusoidales de distinta frecuencia, la intensidad que circularía por el mismo es la suma de la debida a cada una de ellas. Con lo cual para aquellas señales cuya frecuencia esté alejada de la frecuencia de resonancia la impedancia será grande (intensidad muy pequeña) y para aquellas cuya frecuencia sea la de resonancia o muy próxima, la impedancia será pequeña. La intensidad final será únicamente la respuesta del circuito a las señales de frecuencia próxima a la de resonancia.
Este fenómeno encuentra su aplicación inmediata en un selector de canales de radio. La antena recoge una multitud de señales de distinta frecuencia. El usuario/a mediante el dial varía la capacidad del condensador circuito modificando su frecuencia de resonancia. Cuando esta coincide con la frecuencia de un canal determinado, la intensidad del circuito es la respuesta a esta única señal quedando las otras amortiguadas. De esta forma se selecciona el canal que queremos escuchar.
El circuito RLC paralelo opone una impedancia grande solo a aquellas frecuencias que están próximas a la de resonancia. Se le denomina circuito tapón.
El concepto de filtro se relaciona con el paso de un fluido a través de los poros de un sólido y por ampliación al paso de cualquier sujeto a través de una posible barrera. Así en el primer caso se tiene la filtración de agua en una gotera o a través del filtro de papel de una cafetera y en el segundo la filtración de información confidencial. Desde el punto de vista tecnológico el proceso de filtrado puede hacerse selectivo permitiendo la separación de distintos componentes de un sistema. Así un filtro de agua permite eliminar elementos no deseados, como tierra, cloro o calcio, obteniéndose un líquido de mayor calidad, o un filtro de un cigarrillo reduce parte de la nicotina y alquitranes del humo aspirado por el fumador. Desde este punto de vista el proceso de filtrado supone una mejora del producto basada en un comportamiento selectivo del sistema físico de que se trate.
El comportamiento de los circuitos de corriente alterna es selectivo respecto a la frecuencia de la señal que se introduzca en los mismos. Si bien la capacidad y autoinducción de un circuito es función única de la geometría de sus componentes y materiales utilizados, no sucede los mismo con las reactancia capacitivas e inductivas, donde aparece la frecuencia de la señal como un factor a tener en cuenta. Así, un condensador presentará una reactancia alta para señales de baja frecuencia, mientras que una bobina lo hará para señales de alta frecuencia.
Pero ¿qué sucederá si se introduce en un circuito lineal una señal suma de un conjunto de señales senoidales? La linealidad del sistema hace posible la aplicación del principio de superposición que permite estudiar por separado cada señal y considerar la respuesta del conjunto como suma de las respuestas de todas ellas. La figura 6 muestra este fenómeno de forma esquemática.
El comportamiento visto de los dipolos RLC en corriente alterna permite considerar la posibilidad de diseñar un circuito capaz de filtrar en una señal aquellas componentes de frecuencias no deseadas. >
Así, por ejemplo, cuando se escucha música y se quiere incrementar unos tonos o reducir otros, se hace uso del ecualizador. El sonido es una señal senoidal y la frecuencia de la señal determina el tono con que se escucha. Así las notas bajas se corresponden con frecuencias bajas. El altavoz emite un sonido de frecuencia igual a la de la corriente alterna que lo está activando. El ecualizador permite modificar la impedancia del circuito de tal forma que se puede disminuir la amplitud de algunas frecuencias sin modificar las otras. De esta forma se realiza una selección del tono con que se escucha la música.
En otras ocasiones se tiene una señal acompañada con ruidos o perturbaciones no deseadas. En la medida que estos ruidos se correspondan con señales de mayor o menor frecuencia que la señal deseada, se puede diseñar circuitos selectivos que eliminen o reduzcan la perturbación, sin afectar de una forma manifiesta la señal buscada. Al circuito en cuestión se denomina filtro. En la práctica los circuitos que realizan esta función de filtrado suelen ser filtros activos RC cuyos componentes son resistencias, condensadores y amplificadores operacionales y que excluyen el uso de inductancias dado que son voluminosas, pesadas, no lineales y engendran campos magnéticos parásitos.
Si bien se ha hablado de filtros como un comportamiento útil de los circuitos de corriente alterna, no siempre sucede así. Se puede encontrar situaciones en las que la respuesta selectiva de los componentes de un circuito puede afectar negativamente a una señal: por ejemplo, en una línea de conducción de información, como puede ser un cable coaxial, que actuará como un dipolo RLC filtrando determinadas frecuencias, pudiendo producir una perdida de información no deseada.
Toda señal periódica se puede descomponer como la suma de un conjunto de señales senoidales de distinta amplitud y frecuencia. Al conjunto de sumandos que resultan de esta descomposición se les denomina series de Fourier. Una señal no periódica acotada en un intervalo, siempre se puede transformar en periódica considerando una secuenciación de intervalos y por lo tanto aplicar lo dicho anteriormente. Pasando por alto su cálculo, tema que corresponde a otras asignaturas, lo que sí se debe señalar aquí es que la respuesta de la señal de que se trate será la suma de las respuestas de cada uno de los elementos que forman la serie de Fourier.
La figura 7 muestra los 10 primeros elementos de la serie de Fourier de una onda cuadrada y el resultado de su suma, que se aproxima, como era de esperar, a una onda cuadrada. De haber considerado todos los elementos de la serie, la onda cuadrada sería perfecta. La respuesta de un circuito, en función de sus componentes, puede tender a amortiguar las señales de alta frecuencia (opción a) o a amortiguar las de baja frecuencia (opción b), teniéndose en ambos casos una deformación de la señal resultante respecto a la onda cuadrada inicial. Este fenómeno puede ser no deseado y condiciona el diseño de circuitos y líneas de comunicación para conseguir una deformación mínima de la señal de entrada.
La respuesta selectiva de un circuito RLC en función de la frecuencia puede ser utilizada para eliminar de una señal compuesta de múltiples señales senoidales aquellas frecuencias que no se desea. Para ello se introduce la señal compuesta (d.d.p.) a la entrada del circuito RLC y se mide la diferencia de potencial entre los terminales de uno de sus elementos: esta será la señal transmitida a un circuito conectado entre dichos terminales.
Así, si se considera como terminales de salida los bornes del condensador, y con un diseño adecuado del circuito, se obtendría la respuesta que aparece en la figura 8:
La reactancia capacitiva es muy grande para frecuencias bajas, luego se comporta como un circuito abierto, luego us(t) = u(t). Para frecuencias altas la impedancia es muy pequeña aproximando su comportamiento a un cortocircuito: u(t) = 0. Luego entre los terminales del condensador aparecerán los valores de la tensión de entrada correspondientes a frecuencias bajas: a este filtro se le denomina de PASA-BAJA.
Si se considera como terminales de salida los bornes de la bobina, y con un diseño adecuado del circuito, se obtendría la respuesta que aparece en la figura 9:
La reactancia inductiva es muy grande para frecuencias altas, luego se comporta como un cortocircuito, por lo cual us(t) = u(t). Para frecuencias bajas la impedancia es muy pequeña aproximando su comportamiento a un cortocircuito: u(t)=0. Luego entre los terminales del condensador aparecerán los valores de la tensión de entrada correspondientes a frecuencias altas: a este filtro se le denomina de PASA-ALTA.
Si se considera como terminales de salida los bornes de la resistencia, y con un diseño adecuado del circuito, se obtendría la respuesta que aparece en la figura 10:
El valor de la resistencia es independiente de la frecuencia de la señal, pero no sucede lo mismo con la intensidad que por ella circula ni, en consecuencia, con la diferencia de potencial entre sus bornes. Para frecuencias próximas a la de resonancia la intensidad que atraviesa será máxima, mientras que para frecuencias que se alejen del valor de la de resonancia, tanto si son mayores como menores, la intensidad que atraviesa el circuito RLC tiende a valer cero. Al medir la diferencia de potencial en bornes de la resistencia solo se obtiene valores significativos a frecuencias próximas a la resonancia, no obteniéndose respuesta para otras frecuencias. A este tipo de filtro se le denomina de PASA-BANDA.
Si se realiza un barrido de frecuencias a la entrada del circuito, midiendo el valor de la tensión a la salida y se traza un gráfico en el que se represente la relación entre la tensión de salida y la de entrada, Us/U, en función de la frecuencia, se obtiene las curvas trazadas en la figura 11, para cada filtro.
Superponiendo las tres curvas se observa que los filtros de pasa-alta y pasa-baja se cortan en un punto a la frecuencia de resonancia. Ese punto se corresponde con el factor de sobretensiones relacionado con la resonancia. A ese mismo factor se le denomina factor de calidad dado que cuanto mayor sea su valor mayor pendiente tendrá la curva que caracteriza el filtro y por lo tanto el filtrado será mejor. Tiene como contrapartida el incremento de las sobretensiones, como ya se ha comentado anteriormente.
Realiza el circuito de la figura 13 y completa la siguiente tabla:
|
Circuito |
R Ω |
C μF |
L mH |
f0 teórica Hz |
f0 exp. Hz |
|
a) |
original |
47 |
4,4 |
9 |
|
|
|
b) |
cambiar R |
120 |
4,4 |
9 |
|
|
Realiza el circuito de la figura 14, modificando la posición del segundo voltímetro según el filtro de que se trate, y completa la siguiente tabla:
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|
|
Circuito |
R Ω |
C μF |
L mH |
Q teórica |
Q exp.*** |
|
Pasa-alta |
a) |
Original |
47 |
4,4 |
9 |
|
|
|
Pasa-baja |
a) |
Original |
47 |
4,4 |
9 |
|
|
|
Pasa-bada |
a) |
Original |
47 |
4,4 |
9 |
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------------- |
***El factor de calidad
experimental, Q exp.,
se determina a partir de la curva obtenida para los filtros pasa baja y
pasa
alta, y es igual el cociente UC /U y UL /U
a la frecuencia de resonancia:
Nota: se define el ancho de banda de un filtro pasa-banda como el valor f1-f2, siendo f1 y f2 las dos frecuencias correspondientes a una ganancia:
Es un parámetro que indica el rango de frecuencias filtradas en el entorno de la frecuencia de resonancia. Las frecuencias f1 y f2 se denomina frecuencias de corte.
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